Integrais

Temos uma função $f \colon [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \to \mathbb{R}$, que associa aos pares ordenados $(x_1, x_2)$ o valor $f(x_1, x_2)$.

Considere a partição $P = \{a = A_0 < A_1 < \dots < A_n = b\}$. Mais geralmente, temos um bloco $B \subset \mathbb{R}^n$, uma função $f \colon B \to \mathbb{R}$, uma partição $P$ de $B$, e $S(P)$ o conjunto dos subblocos de $P$.

O domínio da função pode ser subdividido em blocos.

Uma variável

Voltando ao cálculo de uma variável: temos um objeto geométrico plano cuja largura depende da altura, $L(h)$, e cuja altura varia de 0 até $H$.

A área do objeto pode ser calculada pela integral:

$$\int_0^H L(h)\, dh$$

Também podemos calcular a área parcial do objeto, dependente de uma altura variável $h$, como:

$$S(h) = \int_0^h L(t)\, dt$$

Teorema Fundamental do Cálculo

Lembramos uma das versões do Teorema Fundamental do Cálculo:

$$\int_a^b f'(x)\, dx = f(b) - f(a)$$

Extensão ao volume

Estendendo ao caso de um sólido geométrico: agora temos uma área que depende da altura, $S(h)$, e a altura varia de 0 a $H$.

O volume do sólido será:

$$V = \int_0^H S(h)\, dh$$

Podemos reescrever $S(h)$ como:

$$S(h) = \int_0^h L(t)\, dt$$

É importante observar que não precisamos pensar necessariamente em interpretações geométricas.
Podemos ter grandezas que dependem de outras, expressas por funções.

Por exemplo, considere as seguintes grandezas que podem ser modeladas por funções em uma região do espaço:

• Temperatura acumulada em um volume:
  Uma função $T(x,y,z)$ representa a temperatura em cada ponto. A integral tripla de $T$ sobre o volume representa a soma total da temperatura acumulada naquele espaço, que pode ser interpretada como energia térmica total.
• Massa de um sólido com densidade variável:
  Uma função densidade $\rho(x,y,z)$ varia ao longo do sólido. A integral tripla calcula a massa total, somando pequenas parcelas de massa, que são o produto da densidade pelo volume infinitesimal.
• Carga elétrica total em uma região:
  Se $\rho(x,y,z)$ representa a densidade de carga elétrica, a integral tripla calcula a carga total contida na região.
• Quantidade de substância em uma mistura:
  Uma concentração $c(x,y,z)$ pode ser integrada para obter a quantidade total da substância.
• Fluxo total de calor, energia ou outra propriedade física:
  Integrais iteradas podem representar composições de grandezas físicas envolvendo somas e produtos de propriedades.

Dessa forma, a interpretação de integrais iteradas não precisa ser primariamente geométrica, como cálculo de áreas e volumes.
Elas podem ser vistas como uma composição ordenada de grandezas, em que cada integral acumula a contribuição em uma dimensão, resultando na grandeza final desejada.

Integrais iteradas

Esse processo é chamado de integral iterada. De forma geral, temos:

$$\int_{a_1}^{b_1} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(x, y)\, dy \right) dx$$

Calculamos primeiro a integral de dentro com relação a $y$, e o resultado disso será utilizado na integral de fora com relação a $x$.

Do ponto de vista da integral externa, para cada $x$ fixado, temos uma área associada:

$$\text{área}(x) = \int_{a_2}^{b_2} f(x, y)\, dy$$

Você pode imaginar um plano paralelo ao eixo $YZ$, que intercepta um valor fixado $x$ e corta o gráfico da função $f(x, y)$, formando uma curva cuja área está sendo integrada.

Estudo de caso

Considere a função:

$$f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}$$

Considere o domínio sendo o disco $D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le R^2 \}$.

Vamos usar coordenadas polares: cada ponto $(x, y)$ é dado por:

$$x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta$$

com $r \in [0, R]$ e $\theta \in [0, 2\pi]$.

Essa mudança de variáveis é uma função:

$$\phi(r, \theta) = (r \cos\theta, r \sin\theta)$$

A integral da função no disco pode ser reescrita como:

$$\iint_D f(x, y)\, dx\, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^R f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta$$

Esse fator $r$ é o fator de esticamento (jacobiano da transformação), que compensa a distorção nas áreas provocada pela mudança de coordenadas.

Motivação do fator de esticamento

Considere a mudança $\varphi(\theta) = \sin\theta$, de $\theta \in [-\pi, \pi]$ para $x \in [-1, 1]$. Temos:

$$dx = \varphi'(\theta)\, d\theta$$

Então:

$$\int_{-1}^{1} f(x)\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} f(\varphi(\theta))\, \varphi'(\theta)\, d\theta$$

Ou seja, ao mudar de variável, é necessário multiplicar pela derivada da função de mudança, o fator de correção.

Conclusão

No caso da função:

$$f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)}$$

no disco $D$, temos:

$$\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\, dx\, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^R e^{-r^2}\, r\, dr\, d\theta$$

Esse $r$ vem do jacobiano da transformação para coordenadas polares, e mede o quanto a mudança de coordenadas estica a região integrada.

De alguma forma, precisamos deduzir o fator de correção ao mudar para coordenadas polares.

Considere um pequeno elemento de área em coordenadas polares. Podemos escrever:

$$\frac{r + \Delta r}{2} \cdot \Delta\theta \approx r\, \Delta r\, \Delta\theta + \frac{(\Delta r)^2}{2} \cdot \Delta\theta$$

Dividindo por $\Delta r \Delta\theta$, temos:

$$\frac{r\, \Delta r\, \Delta\theta + \frac{(\Delta r)^2}{2} \cdot \Delta\theta}{\Delta r \Delta\theta} = r + \frac{\Delta r}{2}$$

No limite em que $\Delta r \to 0$, esse valor tende a $r$. Isso nos motiva a introduzir o fator $r$ como fator de correção da área ao fazermos a mudança para coordenadas polares.

Assim, a razão entre os elementos diferenciais é:

$$\frac{dx\, dy}{dr\, d\theta} = r$$

Logo, nossa integral original

$$\iint_D f(x, y)\, dx\, dy$$

em coordenadas polares se torna:

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{R} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta$$

No caso de:

$$f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)} = e^{-r^2}$$

temos:

$$\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\, dx\, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^R e^{-r^2} \cdot r\, dr\, d\theta$$